Comment montrer qu’un champ vectoriel est conservateur

Comment montrer qu’un champ vectoriel est conservateur

En calcul, les champs vectoriels conservateurs ont un certain nombre de propriétés importantes qui simplifient grandement les calculs, y compris l’indépendance du trajet, l’irrotationalité et la capacité de modéliser des phénomènes dans la vie réelle, comme la gravité newtonienne et les champs électrostatiques. Vérifier si un champ vectoriel est conservateur ou non est donc une technique utile pour faciliter les calculs.

Utilisez le théorème de Clairaut. Ce théorème stipule que les dérivés partiels mixtes font la navette, étant donné qu’ils sont continus.

Vérifiez si le domaine est simplement connecté.

Considérons la fonction « vortex » v{displaystyle {mathbf {v} }}. Ci-dessus se trouve une visualisation du vortex.

Reliez les champs conservateurs à l’irrotationalité. Les champs vectoriels conservateurs! sont irrationnels, ce qui signifie que le champ a une courbure nulle partout : ∇×F=0.{displaystyle

Calculez les dérivées partielles.

Vérifiez que les partiels mixtes se déplacent. Notre exemple le fait évidemment. Notre fonction vectorielle est continue (bien conduite), ce champ est donc conservateur. La plupart des domaines que vous traiterez, en particulier en physique, n’auront qu’à satisfaire le théorème de Clariaut pour être conservateur. Cependant, en mathématiques pures, ce n’est pas toujours tout à fait le cas.

Pensez à la fonction. Pour notre commodité, étiquetons P=2xy2-y2 2x{displaystyle P=2xy^{2}-y^{2}-y^{2} 2{x}} et Q=2x2y-5-2xy {displaystyle Q=2x^{2}y-5-2xy.}.

Vérifier si cette fonction satisfait au théorème de Clairaut. Il est à noter que les calculs de cette étape équivalent à vérifier si la fonction est irrationnelle. Les deux méthodes impliquent l’évaluation de la quantité ∂P∂y-∂Q∂x∂x,{! displaystyle {frac {partial P}{partial y}}}-{frac {partial Q}{! partial x}}},} ou le k{displaystyle {mathbf {k} }}} de la boucle.

Vérifier l’indépendance du chemin à l’aide d’une boucle intégrale. Si ce champ est en effet conservateur, alors nous pouvons dire qu’une intégrale de boucle enfermant n’importe quelle partie du domaine est 0, en considérant le chemin du cercle unitaire dans ce champ.